Як винайшли комплексні числа

Математика з'явилася як спосіб кількісно описувати світ, вимірювати місцевість, передбачати рухи планет та вести торгівлю.
Потім з'явилася задача, яку неможливо було розв'язати.
А ключем до її розв'язку стало відокремлення математики від реального світу, розмежування алгебри та геометрії, і винайдення таких дивних нових чисел, що їх назвали уявними.
За іронією долі саме ці числа через 400 років стануть основою найвдалішої фізичної теорії Всесвіту.
Лише відкинувши зв'язок математики з реальністю, ми змогли відкрити справжню суть природи.
[спокійна музика] У 1494 році Лука Пачолі – вчитель математики Леонардо да Вінчі - опублікував свою працю "Сума арифметики", збірку всіх знань з математики в Італії доби Відродження.
Один розділ у книзі був присвячений кубічним рівнянням, які б ми записали сьогодні як aх³ + bx²+ сх + d = 0.
Людство намагалося знайти загальний розв'язок кубічних рівнянь протягом щонайменше 4 тисяч років, проте кожен із давніх народів, які з ними стикалися: вавилоняни, греки, китайці, індійці, єгиптяни та перси – зазнали поразки.
Пачолі зробив висновок, що розв'язку кубічного рівняння не існує.
Але це було б дивно, адже без х³ рівняння стає просто квадратним.
А багато цивілізацій розв'язували квадратні рівняння вже тисячі років тому.
Сьогодні кожен учень восьмого класу знає загальний розв'язок.
-b ± корінь із (b² - 4ac) поділити на 2а.
Зараз більшість людей просто підставляють змінні у формулу, не думаючи про геометрію, яка й допомогла давнім математикам знайти розв'язок.
Річ у тім, що на той час ще не було рівнянь.
Вчені записували їх словами і картинками.
Візьмемо до прикладу рівняння х² + 26х = 27.
Давні математики бачили змінну х² як справжній квадрат зі сторонами завдовжки х.
Тоді 26х - прямокутник з однією стороною завдовжки 26 та іншою – х; а сума цих двох площ дорівнює 27.
Тож як знайти х?
Розріжемо навпіл прямокутник 26х.
Тепер у нас два прямокутники по 13х, які можна розмістити у вигляді неповного квадрата без одного елемента.
Проте я знаю його розміри.
Це 13 на 13.
Тож я можу завершити квадрат, додавши фігуру розміром 13 на 13.
Оскільки я додав 13² або 169 до лівої частини рівняння, також потрібно додати 169 до правої частини, щоб їх зрівняти.
Тепер у нас великий квадрат зі сторонами х + 13, що дорівнює 196.
Квадратний корінь зі 196 - це 14.
Тож сторони квадрата дорівнюють 14, а x = 1.
Візуально добре видно хід розв'язку квадратного рівняння.
Проте він неповний.
Подивіться на наше перше рівняння: в ньому х = 1 — розв'язок.
Але так само розв’язок — x = -27.
Тисячі років математики не звертали увагу на від'ємні розв'язки своїх рівнянь, адже вони мали справу лише з реальним світом, довжинами, площами та об'ємами.
Як можна уявити квадрат, довжини сторін якого — мінус 27?
Це ж просто якась нісенітниця.
Тому в математиці у той час не існувало від'ємних чисел.
Можна було віднімати, тобто знаходити різницю між двома додатними величинами, але від'ємних відповідей або величин бути не могло.
Поняття від'ємних чисел було настільки неприйнятним для математиків, що не існувало навіть єдиної формули квадратного рівняння.
Натомість було 6 різних варіантів із додатними коефіцієнтами.
Так само було й з кубічними рівняннями.
В XI столітті перський математик Омар Хаям визначив 19 різних кубічних рівнянь з усіма додатними коефіцієнтами.
Деякі розв'язки він знайшов за допомогою перетинів різних форм: гіпербол та кіл.
Проте він не досяг основної мети – знайти загальний розв'язок кубічного рівняння.
Він писав: "Можливо, комусь із наших нащадків вдасться знайти розв'язок."
Перші кроки на шляху до успіху були зроблені 400 років потому за 4000 кілометрів.
Сципіон дель Ферро викладає математику в Болонському університеті.
Близько 1510 року він знаходить метод для успішного розв'язку неповного кубічного рівняння.
Це різновид кубічних рівнянь, у яких відсутній квадратний доданок.
І що він робить після того, як знаходить розв'язок задачі, яка турбувала математиків із давніх-давен?
Розв'язок, який здавався неможливим самому вчителю Леонардо да Вінчі?
Він приховує його.
Річ у тім, що бути математиком у XVI столітті було нелегко.
Твоя посада завжди під загрозою, адже в будь-яку мить може з'явитися інший математик із наміром зайняти це місце і кинути тобі виклик.
Відбувалося щось на кшталт математичної дуелі: учасники складали один одному список задач, і той, кому вдавалося правильно розв'язати більше, отримував посаду; інший же зазнавав публічного приниження.
Поки дель Ферро знав, що ще нікому в світі не вдалося розв'язати неповне кубічне рівняння, тримаючи своє відкриття в таємниці, він був у безпеці.
Майже 20 років дель Ферро не розповідав нікому про своє відкриття.
Лише перед самою смертю у 1526 році він розкрив таємницю своєму учневі, Антоніо Фіору.
Фіор не був таким обдарованим у математиці, як його вчитель, але був молодим і амбітним.
Після смерті дель Ферро він почав вихвалятись своїми здібностями до математики і зокрема тим, що він вміє розв'язувати неповне кубічне рівняння.
12 лютого 1535 року Фіор кидає виклик математику Нікколо Фонтана Тартальї, який нещодавно прибув до Венеції.
Дитинство Нікколо видалося досить складним.
Французький солдат порізав йому обличчя, відтоді хлопець почав заїкатися.
Саме тому він отримав прізвисько Тарталья, що з італійської означає "заїка".
Він ріс у бідності і здобував освіту здебільшого самостійно, тяжко працюючи, щоб зайняти місце в італійському суспільстві і врешті-решт стати шанованим математиком.
І все це тепер було під загрозою.
Тарталья, як тоді було заведено, передає Фіору 30 різних задач.
Фіор так само передає Тартальї 30 завдань, усі з яких були неповними кубічними рівняннями.
Кожному з учасників було відведено 40 днів на розв'язок завдань.
Фіор не розв'язав жодного.
Тарталья — усі 30 рівнянь усього за 2 години.
Так марнославство стало для Фіора перешкодою на шляху до успіху.
Ще до початку їхньої "дуелі" Тарталья чув, що Фіор навчився розв'язувати кубічні рівняння, але не вірив у це.
"Мені здавалося, що він нездатен вивести такий розв'язок самостійно", — пише Тарталья.
Проте ходили чутки, що Фіор дізнався розв'язок від іншого, дійсно талановитого математика, і це було більше схоже на правду.
Знаючи, що знайти розв'язок цілком можливо, і усвідомлюючи, що вирішується його майбутнє, Тарталья відчайдушно почав шукати розв'язок кубічних рівнянь.
Він взяв за основу геометричний підхід для квадратних рівнянь і переніс його в три виміри.
Візьмемо рівняння x³ + 9x = 26.
x³ можна уявити як об'єм куба зі стороною x.
І якщо ми додамо об’єм, який дорівнює 9x, то отримаємо 26.
Як це було і з квадратним рівнянням, нам потрібно збільшити об'єм куба на 9x.
Уявімо, що ми подовжили його сторони на y.
Отримуємо новий куб більшого об'єму зі стороною z.
z = x + y.
Так наш початковий куб ніби обкладений з різних сторін іншими сімома фігурами.
Ми маємо три прямокутні призми з розмірами x на x на y, три дещо менші призми з розмірами x на y на y, і маленький куб з ребром y.
Тарталья поєднав шість прямокутних призм в один паралелепіпед з однією стороною 3y, другою — x + y (тобто z) та висотою x.
Об'єм цієї фігури дорівнюватиме 3yz помножити на висоту x.
І Тарталья зрозумів, що цей об'єм відповідатиме 9x з рівняння, якщо його основа, тобто 3yz, дорівнює 9.
Тому він вирішує, що 3yz дорівнює 9.
Знову склавши куб, ми бачимо, що бракує маленького кубика зі стороною y.
Отже, додавши y³ до обох частин рівняння, ми можемо зробити нашу фігуру цілісною.
Виходить, що z³, тобто великий куб, дорівнює 26 + y³.
Маємо два рівняння і дві невідомі.
Знаходимо, чому дорівнює z у першому рівнянні, підставляємо це значення в друге рівняння й отримуємо y⁶ + 26y³ = 27.
Здається, що тепер рівняння стало ще складнішим, ніж на початку, оскільки в нас з'явився шостий степінь, хоча спочатку був лише третій.
Але якщо подивитись на y³ як на нову змінну, то рівняння знову перетворюється на квадратне, таке ж, як ми розв'язували на початку.
Тому ми вже знаємо, що y³ — це 1, а отже, y = 1.
z - це 3 поділити на y, тобто 3.
x + y = z, отже x = 2.
Це насправді і є розв’язок початкового рівняння.
Ось так Тарталья стає другою людиною на планеті, яка навчилася розв'язувати кубічні рівняння.
Аби кожного разу не робити цих геометричних маніпуляцій, Тарталья вигадав і записав спільний алгоритм, покрокову інструкцію, але не у вигляді математичної формули, до яких ми звикли (такий спосіб запису вигадають лише через сто років), а у вигляді вірша.
Цей успіх приносить Тартальї славу.
Математики всіма можливими способами намагалися дізнатися, як він розв'язав кубічне рівняння.
Особливо наполегливим був Джироламо Кардано, математик із Мілана.
Як ви вже здогадалися, Тарталья був непохитним і відмовлявся розкривати свій секрет.
Але й Кардано не здавався.
Він писав купу листів, у яких вдавався і до лестощів, і до погроз.
Зрештою, пообіцявши познайомити Тарталью зі своїм багатим благодійником, Кардано вдається заманити Тарталью в Мілан.
І там 25 березня 1539 року Тарталья розкриває свій секрет, але лише після того, як Кардано дав урочисту клятву нікому його не розповідати, не публікувати та записувати його тільки шифром.
Цитую: "...щоб після моєї смерті ніхто не міг зрозуміти записів."
Задоволений Кардано відразу ж починає експериментувати з алгоритмом Тартальї.
Але у нього на думці глобальніша мета - знайти розв'язок повного кубічного рівняння разом з x².
І на диво, йому вдалося.
Якщо замінити x на (x - b) поділене на 3a, то всі частини з x² скорочуються.
Це спосіб перетворити будь-яке кубічне рівняння в неповне, яке далі можна розв’язати за формулою Тартальї.
Вражений тим, що він розв'язав рівняння, яке ставило в глухий кут найкращих математиків протягом тисячоліть, Кардано хоче опублікувати свій розв'язок.
На відміну від своїх колег Кардано не потрібно тримати розв'язок у таємниці.
Він заробляє собі на життя не як математик, а як лікар і відомий інтелектуал.
Для нього визнання цінніше за секрет.
Єдина проблема — це клятва, яку він дав Тартальї, і порушити її він не може.
І можна подумати, що на цьому все й закінчиться.
Але в 1542 році Кардано їде до Болоньї і відвідує математика, який, як виявилося, є зятем того самого Сципіона дель Ферро, який на смертному одрі передав розв'язок неповного кубічного рівняння Антоніо Фіорові.
Кардано знаходить цей розв'язок у старому блокноті дель Ферро, який йому дають подивитися під час візиту.
Цей розв'язок на десятиліття випередив думки Тартальї.
Тому тепер, на думку Кардано, він може опублікувати повний розв'язок рівняння, не порушуючи своєї клятви Тартальї.
Через три роки Кардано публікує так звану "Ars Magna" - оновлений збірник з математики.
"Написаний за п’ять років, нехай прослужить п’ятсот"
Кардано пише по розділу на кожне із 13 кубічних рівнянь з унікальним геометричним розв'язком.
Він відзначає внесок Тартальї, дель Ферро та Фіора.
Однак Тарталья, м'яко кажучи, незадоволений.
Він пише Кардано образливі листи, скаржиться іншим відомим математикам.
І він має рацію.
До сьогодні загальний розв'язок кубічного рівняння часто називають методом Кардано.
Проте "Ars Magna" - це феноменальне досягнення.
Воно довело геометричні міркування до їхньої межі.
Буквально.
Поки Кардано писав "Ars Magna", йому траплялися кубічні рівняння, які важко розв'язати звичним способом, наприклад, x³ = 15x + 4.
Якщо розв’язувати рівняння за алгоритмом, у розв'язку будуть квадратні корені від’ємних чисел.
Кардано запитує Тарталью про цю складність, але той ухиляється і натякає, що Кардано просто недостатньо розумний, аби правильно використовувати його формулу.
Насправді Тарталья також гадки не має, що робити.
Кардано повертається до геометричного розв'язку подібного рівняння, аби з'ясувати, що йде не так.
Йому успішно вдається заповнити об'єм та скласти фігури, але під час додавання квадрата, котрого бракує, виникає геометричний парадокс.
Кардано знаходить частину квадрата з площею, яка дорівнює 30, і сторонами довжиною по п'ять.
Оскільки весь квадрат має площу 25, тоді відсутня частина повинна мати від'ємну площу.
Ось звідки і з’являються квадратні корені від’ємних чисел - з ідеї від’ємної площі.
Насправді це не перший випадок, коли в математиці з'являються квадратні корені від'ємних чисел.
Навіть в "Ars Magna" вже була схожа проблема.
Знайдіть два числа, які в сумі дорівнюють 10, а в добутку 40.
Ці рівняння можна поєднати в одне квадратне рівняння - x² + 40 = 10x.
Якщо використати формулу, то у відповіді ми побачимо квадратні корені від’ємних чисел.
Очевидне рішення полягає в тому, що розв'язку цього рівняння не існує, і в цьому можна переконатися, якщо поглянути на початкову задачу.
Немає таких чисел, які в сумі дорівнюють 10, а в добутку - 40.
Тож математики сприймали появу коренів із від'ємних чисел як знак того, що рішення просто не існує.
Але це кубічне рівняння – виняток.
Нескладно побачити, що х = 4.
Але чому цей приклад не можна вирішити способом, який підходить до інших таких рівнянь?
Не в змозі зрушитися з місця, Кардано уникає цього випадку в "Ars Magna"
і називає ідею коренів від'ємних чисел «ефемерною і безужитковою».
Приблизно через 10 років італійський інженер Рафаель Бомбеллі продовжив роботу Кардано.
Його не лякають ні корені від'ємних чисел, ні геометричні парадокси.
Він хоче довести справу до кінця.
Знаючи, що квадратним коренем від'ємних чисел "не може бути ні додатне, ні від'ємне число", він вважає це якимось новим видом чисел.
Бомбеллі пропонує виразити два доданки у розв’язку Кардано як комбінацію звичайного та цього нового типу чисел, який містить квадратний корінь від'ємного числа.
Так Бомбеллі з'ясовує, що кубічні корені у рівнянні Кардано дорівнюють 2 плюс або мінус квадратний корінь із (-1).
Отже, останній крок: він додає їх; квадратні корені скорочуються і залишається правильна відповідь — 4.
Це здається якимось дивом.
Метод Кардано працює, але після відмови від геометрії, завдяки якій він був виведений.
Від'ємні площі, яких в реальності не існує, неминучі як проміжний етап до розв'язання задачі.
Протягом наступних 100 років формується сучасна математика, якою ми її знаємо.
У XVII столітті Франсуа Вієт вводить сучасні символи алгебри, залишивши у минулому довгі описи з ілюстраціями.
Геометрія більше не є єдиним джерелом істини.
Рене Декарт починає активно використовувати квадратні корені від'ємних чисел і таким чином популяризує їх.
І хоча Декарт розуміє їхню користь, він називає їх уявними числами.
Ця назва прижилася, і пізніше Ойлер вводить латинську букву "і"
на позначення квадратного кореня з -1.
Уявні числа в комбінаціях з дійсними утворюють комплексні числа.
Так кубічні рівняння зумовили появу нових чисел та звільнили алгебру від геометрії.
Відмовившись від геометрії, яка вважалась найнадійнішим способом описати реальність - адже її можна побачити та торкнутися - ми отримали більш ефективну та повну математику, яка може вирішувати цілком реальні задачі.
І виявилося, що кубічні рівняння – це лише початок.
У 1925 році Ервін Шрьодінґер шукає рівняння хвильової функції, яка б описувала рух квантових частинок, спираючись на ідею де Бройля про те, що матерія складається з хвиль.
Він придумав одне з найбільш важливих та відомих рівнянь фізики – рівняння Шрьодінґера.
І вагоме місце у ньому належить "і" — квадратному кореню із (-1).
Математики вже звикли до уявних чисел, але фізики – ні.
Їм не подобалося, що уявні числа з'являються у такій фундаментальній теорії.
Сам Шрьодінґер пише: "Що тут викликає труднощі і що може зазнати критики, – то це використання у формулі комплексних чисел.
Хвильова функція ψ, без сумнівів, є дійсною функцією."
І його заперечення здається обґрунтованим.
Й справді, чому уявне число, яке вперше з'явилося в кубічних рівняннях, опинилось у фундаментальній фізиці?
Так сталося через деякі унікальні властивості уявних чисел.
На площині уявні числа лежать перпендикулярно до дійсної числової прямої.
Разом вони утворюють комплексну площину.
Подивіться, що буде під час повторюваного множення на і.
Почнімо з одиниці.
Один на і буде і, і на і — це -1, за визначенням.
-1 на і - це -і, а -і на і становитиме 1.
Ми повернулися туди, звідки починали, і якщо ми продовжимо множити на і, то будемо рухатися по колу.
По суті, коли ми множимо на і, то обертаємося на 90 градусів у комплексній площині.
В математиці є функція повторюваного множення на і під час руху вздовж осі х.
І це — функція e в степені (i ікс).
Вона створює спіраль, по суті, поширюючи ці обертання по всій осі x.
Якщо дивитися на дійсну частину спіралі, то це косинусоїда.
А якщо глянути на уявну частину, то це синусоїда.
Обидві основні функції, які описують хвилі, містяться в е в степені (i ікс).
Тому, коли Шрьодінґер збирається записати хвильове рівняння, він припускає, що розв'язки його рівняння виглядатимуть приблизно як e в степені (ix), а саме e в степені i(kx - ωt).
Ви можете запитати, чому він використовував цю формулу, а не просту синусоїду.
Річ у тім, що експонента має деякі корисні властивості.
Якщо взяти похідну по координаті або часу, то вона буде пропорційною вихідній функції.
Але це не діє, якщо використовувати функцію синус, похідною якої є косинус.
Крім того, оскільки рівняння Шрьодінґера є лінійним, то можна додати довільну кількість розв'язків такого вигляду, створюючи ту форму хвилі, яка потрібна, і вона також буде розв'язком рівняння Шрьодінґера.
Фізик Фрімен Дайсон пізніше написав: "Шрьодінґер використав квадратний корінь із (-1) у рівнянні, і несподівано це набуло сенсу.
Раптом воно стало хвильовим рівнянням замість рівняння теплопровідності.
Також Шрьодінґер із задоволенням виявив, що рівняння має розв'язки, які відповідають квантифікованим орбітам в атомній моделі Бора.
Виявляється, що рівняння Шрьодінґера чітко описує все, що ми знаємо про поведінку атомів.
Це основа всієї хімії й більшої частини фізики.
А цей квадратний корінь із (-1) означає, що природа оперує комплексними, а не дійсними числами.
Це відкриття стало цілковитою несподіванкою як для Шрьодінґера, так і для всіх нас." [Кінець цитати] Тож уявні числа, відкриті як дивний проміжний крок на шляху до розв'язання кубічних рівнянь, виявилися основою для нашого опису реальності.
Тільки відірвавши математику від реального світу, ми змогли глибше зрозуміти, як насправді працює Всесвіт.