Як у нескінченному готелі можуть закінчитися вільні кімнати?

Нескінченність (символ: ∞) — категорія людського мислення, яка використовується для характеристики безмежних, невичерпних предметів і явищ, для яких є неможливим вказання меж або кількісної міри.

Уявіть готель з нескінченною кількістю кімнат, які пронумеровані: один, два, три, чотири.., і так далі до нескінченності.
Це готель Гільберта, а ви менеджер цього готелю.
Може здатися, що знайдуться кімнати для будь-якої кількості мешканців.
Але за певних умов навіть нескінченної кількості кімнат готелю Гільберта може не вистачити для всіх охочих.
Припустімо, що в кожній кімнаті є по одній людині, і всі кімнати заповнені.
Нескінченна кількість людей у нескінченній кількості кімнат.
І тут з'являється хтось іще, і йому потрібна кімната.
Але всі кімнати зайняті.
То як вам вчинити?
Ну, менш досвідчений керівник відмовив би, але вам відомо, що таке нескінченність.
Отже, ви просите помічника переселити усіх постояльців у сусідні кімнати.
Людина з першого номера переходить у другий. Людина з другого - у третій. І так далі до кінця.
Тепер ви можете розмістити нового гостя у першій кімнаті.
Якщо з’явиться автобус із сотнею людей, ви знатимете, що робити: просто перемістіть усіх на сотню кімнат.
Але тепер, припустимо, з’являється нескінченно довгий автобус з нескінченною кількістю пасажирів.
Ви знали, що робити зі скінченною кількістю людей. Але як щодо нескінченної кількості?
Кілька хвилин на роздуми - і у вас є план.
Ви скажете кожному з постояльців перейти у кімнату з номером, удвічі більшим.
Тож, людина з кімнати номер один переходить у кімнату номер два, з кімнати номер два - в кімнату номер чотири. І так далі.
Тепер усі непарні номери вільні.
А оскільки непарних чисел нескінченна кількість, то ви зможете дати кожній людині з нескінченного автобуса унікальний непарний номер.
Починає здаватися, що цей готель може вмістити кожного.
У цьому й полягає краса нескінченності.
Аж ось раптом з’являється більше нескінченних автобусів: нескінченна кількість нескінченних автобусів.
То що ви можете зробити?
Ну, ви дістаєте нескінченну таблицю.
Робите рядок для кожного автобуса: автобус 1 (один), автобус 2 (два), і так далі.
І ряд вгорі для всіх людей, які вже перебувають в готелі.
Колонки відповідають місцю, яке займає кожна людина.
У вас є номер один в готелі, номер два в готелі, номер три, і так далі.
У колонці: перший автобус, перше місце, перший автобус, друге місце, і так далі.
Кожна людина отримує унікальний ідентифікатор, що є комбінацією номера автобуса та номера місця в ньому.
То як вам розподілити кімнати?
Почніть з верхнього лівого кута проводити лінію зигзагами туди й назад по таблиці, проходячи через кожен унікальний ідентифікатор лиш один раз.
Тоді уявіть, що ви тягнете за кінці цієї лінії, і випрямляєте її.
Отже, ми перейшли від нескінченної двовимірної таблиці до нескінченного ряду.
Тепер все просто: кожній людині з цього ряду потрібно надати унікальний номер в готелі.
Тож усі вмістяться. Чудово.
Та ось під’їжджає великий автобус.
Нескінченний автобус без сидінь, в якому кожного пасажира ідентифікують за його унікальним іменем. Це видається дивним.
Їхні імена складаються лише з двох літер: А і В ("бе").
Але кожне ім’я нескінченно довге.
Когось звати ABBAAAAAAAAA..., і так безупинно.
Когось іншого звати ABABABABAB... І так далі.
В автобусі є людина з кожним можливим нескінченним поєднанням цих двох літер.
Гаразд. ABBAAAA... (я називатиму його коротко ABBA ["абба"]) заходить в готель, щоб зняти кімнату.
Але ви кажете йому: "Вибачте, та ми не зможемо помістити усіх вас в готелі".
Він дивується: "Але чому? Нас - нескінченна кількість, а у вас - нескінченна кількість кімнат. Чому ж усі не помістяться?"
І ви, щоб пояснити, знову берете нескінченну таблицю, і починаєте розподіляти кімнати.
Кімната номер один дістається ABBA, кімнату номер два отримує ABABABAB...
І ви продовжуєте, вписуючи в кожен рядок нову комбінацію з "А" і "B".
"Ось у чому проблема, - кажете ви ABBA, - припустимо, що у нас є повний нескінченний список.
Я все ще маю можливість записати ім'я людини, яка досі не отримала кімнати".
Ви робите це так: берете першу літеру першого імені (A) і заміняєте її на B.
Потім берете другу літеру другого імені (B) і міняєте її на A.
І ви продовжуєте робити це до кінця списку.
Ім’я, яке ви отримаєте, точно не зустрічається ніде у списку.
Тому що не буде збігу ні в першій літері першого імені, ні в другій літері другого імені.
Воно відрізнятиметься від кожного імені у списку хоча б однією літерою: літерою на виділеній діагоналі.
Кількість номерів у готелі Гільберта, звісно, нескінченна. Але ця множина зліченна.
Кімнат у готелі стільки ж, скільки є цілих додатних чисел від одного до нескінченності.
Навпаки, кількість людей в автобусі є незліченною множиною.
Як би ви не намагалися зіставити ім'я з цілим числом, у вас все одно залишаться люди.
Деякі нескінченності більші, ніж інші.
Тож, навіть в готелі Гільберта існує обмеження кількості людей, яких можна там помістити.
Це приголомшує.
Але іще божевільнішим є те, що відкриття різних за розміром нескінченностей зумовило науковий пошук, який зробив можливою появу пристрою, на якому ви, ймовірно, дивитеся це відео.
Але це вже інша історія.