Відкриття, яке змінило обчислення π

Це відео - про цікаві способи, які ми використовували для обчислення числа π.
Впродовж 2000 (двох тисяч) років найкращий метод був кропітким, повільним і нудним, але прийшов Ісаак Ньютон і все змінив.
Він винайшов швидкісний метод обчислення числа π (пі).
Але спочатку... π (пі) з піцою.
Відріжте від однієї піци скоринку і викладіть її шматочки в ряд.
Ви побачите, що вона перетне три піци, і ще трохи залишиться.
Це і є число π.
Довжина кола приблизно у 3,14 (три цілих і чотирнадцять сотих) рази більша за його діаметр, але π також пов'язане з площею круга, яка дорівнює πR² ("пі-ер-квадрат").
Але чому πR² ("пі-ер-квадрат")?
Поріжте піцу на дуже тонкі скибочки, а потім складіть їх у прямокутник.
Площа цього прямокутника дорівнює добутку довжини на ширину.
Довжина прямокутника дорівнює половині кола, тому що з одного боку є половина скоринки.
Отже, довжина прямокутника - це πR (пі-ер).
Тоді ширина - це просто довжина шматка піци, тобто радіус початкового круга.
Отже, площа круга дорівнює πR (пі-ер) помножити на R, або πR² (π, що множиться на R у квадраті).
Для кола з одиничним радіусом площа дорівнюватиме π.
Запам'ятайте, бо це стане в пригоді пізніше.
То який саме складний спосіб використовувався для визначення числа π?
Ну, цей спосіб - найочевидніший.
Легко показати, що значення π лежить в межах від 3 (трьох) до 4 (чотирьох).
Візьміть коло і намалюйте всередині нього шестикутник зі стороною, що дорівнює одиниці.
Правильний шестикутник можна розділити на шість рівносторонніх трикутників.
Таким чином, діаметр кола дорівнює два.
Периметр шестикутника дорівнює шести, і довжина кола повинна бути більшою.
Отже, число π більше, ніж шість поділити на два. π>3 (пі більше трьох).
Тепер намалюємо квадрат зовні кола.
Периметр квадрата - вісім, що більше довжини кола, отже, π повинно бути менше, ніж вісім поділити на два.
Таким чином, π<4 (пі менше чотирьох).
Цей факт був відомий кілька тисяч років.
А потім у 250 р. до н.е. (двісті п'ятдесятому році до нашої ери) Архімед вдосконалив цей метод.
- Він почав з шестикутника, як і ми, а потім поділив його так, щоб отримати дванадцятикутник.
- Тож, це правильний дванадцятикутник, або додекагон.
- Відношення периметра цієї фігури до діаметра описаного кола буде менше, ніж π.
- Він зробив те саме для зовнішнього 12-кутника і знайшов верхню межу для числа π.
- Обчислення стають набагато складнішими, оскільки доводиться добувати квадратні корені, корені вищих порядків, і перетворювати все це на дроби.
- Але він не зупинився на цьому, дійшовши до 96-кутника (дев'яностошестикутника), і отримав в підсумку результат, згідно з яким число π лежить між ось цими значеннями [показано].
- Це не так вже й погано, як для 2000 (двох тисяч) років тому.
Так, здається, більшої точності й не потрібно.
- Так, для практичних цілей цієї точності достатньо.
- Зараз це вже стало своєрідним змаганням: показати, наскільки швидко ви можете обчислити з неймовірно високою точністю сталу величину, як-от число π.
Отже, протягом наступних 2000 (двох тисяч) років математики додавали все більше сторін правильним багатокутникам.
Число π обчислювали китайські, індійські, перські й арабські математики, кожен з яких доклав багато зусиль, користуючись цим методом.
І в кінці 16 століття француз Франсуа Вієт обчислив периметр багатокутника з 393216 (трьомастами дев'яносто трьома тисячами) сторін.
Але менш ніж за сто років його перевершив голландець Людольф ван Кьолен, який 25 років обчислював з високою точністю периметр багатокутника, який мав 2⁶² (два у шістдесят другому степені) сторін.
Це чотири квінтильйони, 611 квадрильйонів, 686 трильйонів, 18 мільярдів, 427 мільйонів, 387 тисяч 904 сторони.
Якою була винагорода за цю важку працю?
Всього лиш 35 правильних знаків після коми для числа π.
Ці цифри були написані на його надгробку.
Через 20 років його рекорд побив австрієць
Крістоф Грінбергер, який отримав 38 правильних десяткових знаків.
Він був останнім, хто скористався цим методом?
- Фактично так.
- Але незабаром за справу взявся сер Ісаак Ньютон.
- І щойно Ньютон представив свій метод, ніхто більше ніколи не ділив багатокутники.
Йшов 1666 (тисяча шістсот шістдесят шостий) рік, Ньютону було 23 роки.
Він перебував удома на карантині через спалах бубонної чуми.
Ньютон бавився з простими виразами на кшталт (1+x)² (один плюс ікс у квадраті).
Ви можете розкласти його на 1+2x+x² (один плюс два-ікс плюс ікс-в-квадраті).
А що на рахунок (1+x)³ (один плюс ікс в кубі)?
Знову ж таки, ви можете розкласти цей вираз на 1+3x+3x²+x³ (один плюс три-ікс плюс три-ікс-квадрат плюс ікс-куб).
Те саме можна зробити для "одиниці плюс ікс" у четвертому, п'ятому степені, і так далі.
Але Ньютон знав, що існує закономірність, яка дозволяє пропустити всю нудну арифметику і перейти просто до відповіді.
Якщо подивитися на числа в цих рівняннях, на коефіцієнти біля x (ікс) у різних степенях, то можна помітити, що це просто числа з трикутника Паскаля.
Степінь, до якого підносять (1+x) (одиницю плюс ікс), відповідає певному рядку трикутника.
- Трикутник Паскаля досить простий, його коефіцієнти були відомі давнім грекам, індійцям, китайцям і персам, тобто багатьом культурам.
- Все, що потрібно, це просто додати два сусідніх числа, щоб отримати число, розташоване на рядок нижче.
- Ви можете дуже просто і швидко обчислити коефіцієнти для (1+x)¹⁰ (одиниці плюс ікс в десятому степені) за лічені секунди.
Коли я почав вивчати усі ці старі записи, мене вразило те, що навіть не знаючи мови, системи числення і позначення чисел, мені було зрозуміло..., очевидно, що у всіх них було написано одне і те саме - трикутник Паскаля, як цю таблицю називають в західному світі.
- У цьому й краса математики. Вона поза часом і культурами, вона навіть не зв'язана з людством.
- Вона лишиться, навіть якщо люди зникнуть, як стародавні цивілізації.
- Позаземні цивілізації знатимуть трикутник Паскаля.
З часом була відкрита загальна формула для чисел в трикутнику Паскаля.
Ви можете розрахувати коефіцієнти в будь-якому рядку, не обчислюючи усі числа перед ним.
Для будь-якого виразу (1+x)ⁿ (один плюс ікс в степені ен) це дорівнює 1+nx+n(n-1)x²/2! (один плюс ен-ікс плюс ен на [ен мінус один] на ікс-квадрат поділити на факторіал двох) (плюс ен на [ен мінус один] на [ен мінус два] на ікс-куб поділити на факторіал трьох), і так далі.
- Це біном Ньютона або біноміальна теорема. Слово "біном" означає, що є лиш два члени: "бі" - це два, два числа.
- Формула, яку ви можете довести й показати, що в підсумку у вас вийдуть коефіцієнти трикутника Паскаля.
Отже, все це було відомо в часи Ньютона.
- Саме так. Усі знали це. Усі бачили цю формулу.
- Та все ж ніхто не здогадався зробити те, що зробив Ньютон. Він "зламав" цю формулу.
Біноміальна теорема зазвичай застосовувалася для цілого і додатного n (ен).
У цьому є сенс, правда?
Адже ми беремо (1+x) (одиницю плюс ікс) і множимо певну кількість разів.
Але Ньютон сказав: "До дідька цю умову. Просто застосуємо теорему".
Математика - це пошук шаблонів, їхнє розширення і з'ясування меж їхнього застосування.
Отже, Ньютон підносить цю суму до степеня "мінус один".
- Це 1/(1+x) (одиниця поділити на один плюс ікс).
- Що буде, якщо я підставлю n=-1 (ен, що дорівнює мінус одиниці) у праву частину формули?
І от що ми отримаємо: доданки зі знаками, що чергуються.
Плюс один, мінус один, плюс один, мінус один і так без кінця.
- Отже, (1-х) (один мінус ікс). Потім йде плюс x² (ікс-квадрат).
- Далі -x³ (мінус ікс-куб), +x⁴ (плюс ікс-у-четвертому), -x⁵ (мінус ікс-у-п'ятому),
тобто послідовність доданків зі знаками, що чергуються.
Тож це стає нескінченним рядом.
- Так. Якщо підставити в біном Ньютона число, яке не є додатним і цілим, то ви отримаєте нескінченний ряд.
Але як це розуміти?
Для всіх натуральних чисел кількість членів була скінченною, а зараз у нас нескінченний ряд.
- Так. Якщо у вас ціле додатне число,
а у формулі коефіцієнти мають вигляд (ен) помножити на (ен мінус один) на (ен мінус 2), і так далі...
- Тож, коли ви дійдете до (ен мінус ен), то отримаєте нуль.
- Тому цей і всі наступні коефіцієнти дорівнюватимуть нулю. Суми й сам трикутник будуть скінченними.
- Але щойно ви вийдете за межі цього трикутника, у вас ніколи не буде нуля.
оскільки n не буде цілим додатним числом. Тож у вас буде нескінченний ряд.
Отже, головне запитання: "Чи спрацює це насправді?"
Чи справді нескінченний ряд Ньютона дасть (одиницю, поділену на один плюс ікс)?
- Можливо, це нісенітниця. Багато математичних формул можуть втрачати застосовність.
- Недаремно в нас є правила.
- І нам потрібно знати межі, в яких ці правила працюють, роблячи формули застосовними.
- Якщо взяти увесь ряд, усе рівняння, і помножити його на (один плюс ікс), то всі доданки скоротяться, окрім одиниці.
- Тож, весь довжелезний ряд, помножений на (один плюс x), дорівнює одиниці.
- Тобто весь цей ряд - це (один поділити на один плюс ікс).
- Саме так Ньютон пояснював собі, що застосовувати цю формулу можна в будь-яких ситуаціях.
Ньютон був переконаний, що біноміальна теорема працює навіть для від'ємних значень n.
Що в трикутнику Паскаля є іще щось.
Вище, в ніби нульовому ряді, ви можете дописати нуль і одиницю, і, додавши їх, отримати перший ряд.
І цей нульовий ряд можна продовжити: мінус один, плюс один, мінус один, плюс один, аж до нескінченності.
Поза стандартним трикутником Паскаля усі значення в рядках дорівнюватимуть нулю.
Це узгоджується з новим рядом: одиниці та мінус одиниці дають нулі в нижче розташованому ряді.
Ви також можете розширити шаблон для всіх цілих від’ємних чисел: або використовуючи біноміальну теорему, або просто визначаючи числа, які в сумі дадуть нижче розташовані числа.
І ось щось дивовижне. Якщо ігнорувати знаки "мінус", то можна помітити, що в новому "трикутнику" числа повторюють шаблон оригінального "трикутника".
Їх усі можна сумістити, виконавши звичайний поворот.
Але Ньютон не зупиняється на цілих числах.
Він пробує дробові показники степенів на кшталт (1+x)^½ (одиниці плюс ікс в степені одна друга).
- (один плюс ікс в степені "одна друга") - це (квадратний корінь з одиниці плюс ікс).
- І він хоче зрозуміти, чи можна його так само розкласти.
Підставивши n (ен) в біноміальну теорему, він отримує нескінченний ряд.
Насправді ми могли б перейти в трикутник Паскаля, і додати дробові значення між його рядами цілих коефіцієнтів.
- Саме так. Існує навіть континуум трикутників Паскаля, тобто множина чисел, які можна використовувати для розкладання степеневих виразів.
Уявіть, що для будь-якого дробового числа, як-от однієї третьої чи однієї четвертої, існує власний рядок, сусідні елементи якого в сумі дадуть число з наступного рядка.
І n (ен) не повинно бути додатним цілим числом.
- n (ен) може бути будь-яким числом, не обов'язково цілим.
- Візьмімо ½ (одну другу). За допомогою цієї формули можна зробити будь-що.
- Наприклад, можна швидко обчислити √3 (квадратний корінь з трьох).
- Тому що 3 (три) ми можемо записати як чотири мінус один.
- Якщо чотири винести за дужки й за корінь, то отримаємо (два помножити на квадратний корінь з одиниці мінус одна четверта).
- Якщо ви у формулі заміните x (ікс) на одну четверту, то отримаєте збіжний ряд, який швидко дасть вам квадратний корінь із трьох з високою точністю.
Ньютон зацікавився n=½ (ен, що дорівнює одній другій), оскільки рівняння одиничного кола - це x²+y²=1 (ікс-квадрат плюс ігрек-квадрат дорівнює один).
І якщо виразити y (ігрек) для верхньої частини кола, то y (ігрек) дорівнюватиме (один мінус ікс-квадрат в степені одна друга).
Це практично аналогічний розглянутому вираз, вам просто потрібно замінити x (ікс) на -x² (мінус ікс-квадрат), що замінить деякі знаки на протилежні і збільшить степені x (ікс) удвічі.
Але тепер Ньютон отримав рівняння для кола, в якому кожен доданок - це раціональне число, помножене на ікс в певному степені.
- У нас є два різні способи записати одне і те саме.
- І щоразу, як щось подібне відбувається, є місце для "магії".
Але як він використав це для обчислення π?
- На наше щастя, він так винайшов інтегральне числення, яке називав методом флюксій.
- Він зрозумів, що якщо проінтегрувати цей вираз в межах від нуля до одиниці, то ви отримаєте площу під кривою, тобто чверть круга.
- І він знав, що площа одиничного круга дорівнює πR² (пі ер-квадрат).
- А оскільки R - це одиниця, то площа круга дорівнює π.
- Нам потрібна чверть цієї площі, тобто π/4 (пі на чотири).
- З іншого боку, у нього є цей ряд, і він знає, як інтегрувати змінну x (ікс), піднесену до степеня.
Ви просто додаєте до степеня одиницю і ділите все на отриманий степінь.
Ви отримуєте нескінченний ряд, для обчислення якого потрібна звичайна арифметика.
Підставляєте замість x (ікс) одиницю, і можете обчислити π з як завгодно високою точністю.
Але Ньютон пішов іще далі, додавши одну хитрість.
- Погана математична робота містить нуль ідей, це просто виконання зрозумілих дій.
- Але є й хороші роботи, які містять нову вражаючу ідею.
- Ньютон описав уже 4 ідеї, і в нього ось-ось з’явиться нова ідея номер п’ять.
- Вона полягала в тому, що замість інтегрування від нуля до одиниці, він інтегрує від нуля до ½ (однієї другої).
Коли у вас є нескінченний ряд, вам потрібно, щоб доданки зменшувались якнайшвидше.
Тоді не потрібно буде обчислювати їхню велику кількість.
І Ньютон побачив, що коли він інтегрує не від нуля до одиниці, але від нуля до однієї другої, то після такої заміни кожен доданок зменшується обернено попорційно до x² (ікс-квадрат).
В нашому випадку, в 4 (чотири) рази.
Але якщо ви інтегруєте лише до однієї другої, то якою буде обчислювана площа під кривою?
Ну, це ось така частина круга [показано], яку можна розбити на 30-градусний сектор, який має площу π/12 (пі на дванадцять), і прямокутний трикутник з основою "одна друга" і висотою "корінь з трьох поділити на два".
Тож наш інтеграл повинен дорівнювати цьому виразу.
Виведемо π, і отримаємо такий вираз. [показано]
Якщо ви обчислите лише перші п’ять членів, то отримаєте π, що дорівнює 3,14161 (три кома один чотири один шість один).
Це відповідає точності 2 частини на 100 000 (сто тисяч).
А щоб досягти точності ван Кьолена з його багатокутником, що мав 4 квінтильйони сторін, вам потрібно обчислити лиш 50 доданків ряду Ньютона.
Те, на що колись ішли роки, зараз можна зробити за день.
Ніхто більше не ділив багатокутники навпіл, щоб знайти π.
- Та й навіщо? Робити усю цю нудну роботу, коли хтось виконує її за секунду.
- Це ніби хтось використовує кран, а хтось інший продовжує носити цеглу руками.
- Так будинки вже не будують. У нас є нові технології. Ви що, з глузду з'їхали?
- Ми побудуємо 100-поверховий будинок, а не 5-поверховий.
- Це чудово видно в Нью-Йорку: час, коли з'явилися відповідні технології.
- Ряди й ряди п’ятиповерхових будівель.
- І раптом 20-поверхові, 30-поверхові, 90-поверхові будинки.
- Внесок технологій добре помітний.
Для мене це історія про те, що очевидний спосіб - не завжди найкращий, і що часто хороша ідея - це вихід за межі шаблонів і застосування ідеї в новій ситуації.
Тому що проникливість, вдалі припущення і математика можуть мати велике значення.