Задача про вертоліт і канат

У 2014 (дві тисячі чотирнадцятому) році кваліфікаційний іспит для збірної США з фізики містив таке завдання: Вертоліт летить горизонтально з постійною швидкістю; до нього підвішена ідеально гнучка однорідна мотузка.
Опором повітря нехтувати не можна!
Отже, який з малюнків найбільш правильно показує форму мотузки, коли вертоліт летить праворуч?
Варіант А: висить просто донизу.
B (бі): висить діагонально ліворуч.
C (сі): має форму гачка.
D (ді): має форму перевернутого гачка.
Варіант E (і): мотузка має S-подібну форму.
Щодо правильної відповіді на це запитання точилися суперечки.
Тож сьогодні ми піднімемось на цьому вертольоті, і остаточно з'ясуємо, якою ж буде форма мотузки.
Уперед.
(інтенсивна музика) (гурчання лопатей вертольота) [Пілот] - Я налітав кілька тисяч годин, перевозячи вантажі, як-от ковші з бетоном, пожежні ковші, зводив великі електроопори й ставив менші стовпи.
- Все, що потрібно було перемістити в горах, я робив.
- Найбільше мене хвилює взаємодія підвісного троса з повітряним потоком, що виникає під час роботи несучого гвинта.
- Виникає захльостування, яке опускається по тросу, і сильно підкидає його кінець.
- Настільки, що ми хвилюємося, аби трос не вдарив по корпусу вертольота.
- Звісно ж, ми не хочемо, щоб він зачепив гвинти.
(гурчання лопатей вертольота) [Дерек] Ми готові.
Злітаємо.
(гурчання лопатей вертольота) (жвава музика)
Я поступово випускаю канат. Можливо, ви бачили схожі канати. Його довжина – приблизно 15 метрів, а маса – 20 кілограмів.
- [Крейг] Бачиш, захльостування почалося.
[Дерек] Бачу.
Якщо рухатися дуже повільно, то можна буде цього уникнути?
- Побачимо.
Погляньмо, де струмінь від гвинта припиняє взаємодіяти з канатом і навколишнім повітрям.
На вигляд усе дуже просто, але мало хто згоден з правильною відповіддю.
(заспокійлива музика)
В моєму опитуванні найчастіше зустрічалась відповідь C (сі).
Відповіді утворили криву нормального розподілу.
Ми зв'язалися з автором завдання, професором Полом Стенлі.
- [Пол Стенлі] На іспиті були студенти, які творчо підійшли до розв'язання, використавши домашній експеримент.
- В одного студента було два вентилятори: один дув убік, а інший вниз, щоб зімітувати рухомий вертоліт.
- Він підвісив мотузку і сказав: «О, форма буде такою».
- Викладачі, подивившись на це, сказали: «Очевидно, так можна показати правильну відповідь».
- Вони не могли дійти згоди між собою.
- Якщо ми замінимо канат на ланцюг...
- Тут не можна так робити.
[Дерек] Як вважаєте?
- Я думаю, що відповідь C (сі).
[жінка] - Я думаю, що це D (ді).
- D.
[жінка] - Мені здається, що B (бі).
[жінка] - Я також за "B".
[жінка] - Я обираю А (ей).
[Дерек] Цікаво, що ніхто не обрав відповідь Е (і).
Ви вже визначилися з відповіддю?
(гурчання лопатей вертольота)
Аби впевнитися, що канат не потрапить у гвинти, пілот захотів, щоб канат висів з правого боку, оскільки за ним буде легше стежити.
[Дерек] Ніби все гаразд.
- Я намагаюся зробити якнайкраще. Принаймні я стараюся.
Ви дуже старанно це робите.
Отже, ми рухаємося не вперед, а по діагоналі вперед і ліворуч.
(бадьора музика) (гурчання лопатей вертольота)
І ви можете чітко бачити, що канат лишається прямим вздовж діагоналі ліворуч.
- Чудова діагональ, Дереку.
Отже, правильною відповіддю є варіант B (бі).
Підіймати канат?
- Так, витягуй його.
Ми збираємося провести ще кілька дослідів, додавши вантаж на кінець каната, а потім ще й парашут.
Але спочатку я хочу пояснити, чому відповідь B (бі) правильна.
На канат діють дві зовнішні сили: сила тяжіння діє донизу, а сила опору повітря - ліворуч.
При польоті з постійною швидкістю ці сили повинні врівноважуватись натягом каната.
Коли я планував цей експеримент, то вважав, що потік повітря від несучого гвинта впливатиме на канат.
Але експеримент показав, що це не так.
- Повітряний потік від гвинта не поширюється набагато нижче вертольота.
- Він розсіюється досить швидко.
Тож, ми можемо вважати, що загальна сила опору повністю обумовлена рухом каната крізь нерухоме повітря.
Уявіть, що мотузка розділена на багато коротких відрізків.
Кожен відрізок має однакову масу, на кожен діє однакова сила опору повітря, і площа перерізу теж однакова.
Усі вони рухаються з однаковими швидкостями.
Натяг в будь-якій точці каната повинен врівноважуватися силою опору і вагою усіх ділянок, розташованих нижче.
Сила натягу в нижньому кінці каната дорівнює нулю, і збільшується лінійно до максимуму у верхньому кінці.
Через малий натяг нижня частина каната звивається, в той час, як верхня частина набагато стійкіша.
Хоча величина сили натягу й змінюється вздовж каната, її напрям залишається незмінним.
Це тому, що відношення сили опору повітря до ваги нижче розташованої частини каната однакове в кожній його точці.
Ось чому гнучкий канат висить вздовж діагональної прямої, якщо тягнути його вертольотом з постійною швидкістю.
Чим швидше рухається вертоліт, тим більшим стає кут нахилу каната, але сам канат однаково буде прямим, оскільки відношення сили опору до ваги залишається незмінним по всій довжині каната.
І це змусило мене задуматися: «А що буде, коли ми збільшимо вагу кінця каната?"
Маса цього вантажу 20 фунтів, що дорівнює 9 (дев'яти) кілограмам.
І я хочу попросити вас передбачити, якої форми тепер набуде канат.
Чи залишиться він прямим і діагональним, або ж у нас буде один з інших п'яти варіантів?
Ще одне запитання: Якщо ми причепимо тягар унизу,.. якою буде форма мотузки?
- Мабуть, D (ді).
- B (бі), або, можливо, C (сі).
[Дерек] Це щось змінює?
- Я думаю, що буде B.
(легка, весела музика)
Легко зробити на землі.
(гуркотіння лопатей)
[Дерек] Гаразд, ми скидаємо канат.
До його кінця прикріплена 9-кілограмова гиря.
Як відчуття, коли вона бовтається на канаті?
- Жодного бокового зміщення.
- Добре.
- Як твої передпліччя?
- Все гаразд. Мені було зовсім неважко. Справді.
- Почуватимуся інакше, коли доведеться його підіймати.
- Гиря вже унизу?
- Так.
Гаразд, спробуймо.
(музика) (гурчання лопатей вертольота)
Вертоліт летить зі швидкістю майже сто кілометрів на годину, і канат має іншу форму.
Чітко видно, що форма каната нагадує перевернути літеру J (джей).
Це варіант D (ді).
Власне, ось як з'явилося це завдання на кваліфікаційному іспиті.
- Отже, я один семестр викладав у Гонконзі, і ми ходили в походи по Нових Територіях.
- Одного разу, у такому поході, я бачив, як летів гелікоптер з прикріпленим канатом.
- Він щось переміщував до однієї з віддалених частин Нових Територій Гонконгу.
- І я, побачивши форму каната, подумав про себе: «Це на вигляд певною мірою контрінтуїтивно, тож може стати хорошим завданням на відбірковий іспит для студентів».
- На кінці каната, який я бачив, висів вантаж, що надавало канату характерної форми.
- Коли я поділився цим спостереженням з іншими викладачами, то Ендрю Лінн, один з викладачів, подивився і сказав: «Я думаю, що запитання може бути навіть цікавішим, якщо на канаті не буде вантажу, адже цей випадок іще важче уявити».
[Дерек] Щоб зрозуміти, чому канат має таку форму, ми можемо скористатися попереднім методом.
Але тепер нам потрібно додати масивне тіло до кінця каната.
Це означає, що внизу сила натягу має бути майже вертикальною, щоб компенсувати вагу гирі, на яку діє велика сила тяжіння, але дуже мала сила опору.
В міру руху вгору вздовж каната, відношення загального опору повітря до ваги нижче розташованих частин збільшується.
Тож канат стає все більш горизонтальним, щоб врівноважити збільшення сили опору повітря.
- [Пілот] Ти вже витягнув понад половину каната. Ти зможеш.
[Дерек] А тепер я хочу додати до нижньої частини щось, що майже не додало б ваги, але суттєво збільшило опір повітря.
Отже, я обрав прапор Veritasium, звісно ж.
Що ви думаєте про цю мою ідею з прапором?
– Ну, для мене це все науковий експеримент, тому що я сам точно цього б не робив.
В чому полягає ризик: потрапляння у хвостовий гвинт чи несучий?
Будь-яке потрапляння каната у хвостовий гвинт призведе до руйнування вертольота.
(гуркотіння лопатей вертольота) (інтенсивна музика)
- Починаймо. Вперед!
[Дерек] Канат все ще здається досить прямим.
Я думаю, що це через прапор, який в дійсності не сильно збільшує опір.
Досі виглядає практично прямим. Цікаво.
Тому ми вирішили прикріпити маленький парашут до кінця каната.
Гаразд, спробуймо.
Нас турбувало те, що парашут під час розгортання може потрапити в один з гвинтів.
Тож ми помістили парашут в наплічник.
- [Крейг] Чудово!
- [Дерек] Він розженеться більше, ніж зараз?
- [Крейг] Ні, але під час руху він захопить багато повітря.
- [Дерек] З парашутом на кінці, канат має форму літери J (джей), і це варіант C (сі).
З додатковим опором на кінці каната, але малою вагою, натяг має бути практично горизонтальним.
І в міру переміщення вгору по канату відношення загального опору повітря до ваги нижче розташованих частин зменшується.
Канат стає все більш вертикальним, щоб врівноважити збільшення ваги.
Отже, залежно від того, що є на кінці мотузки, ви можете отримати відповіді B (бі), C (сі) або D (ді).