Якщо ви щось крутите — скажімо, розкручує вовчок або обертаєте руку робота — і хочете, щоб воно повернулося у вихідне положення, інтуїція підказує, що вам потрібно буде скасовувати кожен оберт один за одним. Але математики Жан-П'єр Екман із Женевського університету та Цві Тласті з Ульсанського національного інституту науки та технологій (UNIST) знайшли дивовижний спосіб швидкого вирішення. Як вони описують у новому дослідженні, практично будь-яку послідовність поворотів можна повністю скасувати, змінивши її розмір та повторивши двічі.
Результати дослідження були опубліковані у журналі Physical Review Letters.
Подібно до математичного поєднання клавіш Ctrl+Z, цей трюк повертає практично будь-який об'єкт, що обертається у вихідне положення.
«Насправді це властивість практично будь-якого об'єкта, що обертається, чи то вовчок, кубіт, гіроскоп або роботизована рука», - розповів Тласті журналу New Scientist. «Якщо [об'єкти] рухаються сильно звивистим шляхом у просторі, то, просто помноживши всі кути повороту на один і той же коефіцієнт і повторивши цю складну траєкторію двічі, вони просто повернуться на початок координат».
Прихована симетрія руху
Математики представляють обертання за допомогою простору SO(3) — тривимірної карти, де кожна точка відповідає унікальній орієнтації. У центрі знаходиться тотожне перетворення: вихідний стан об'єкта. Зазвичай, повторення складного шляху через цей простір не поверне вас до цього центру. Але Екман та Тласті виявили, що масштабування всіх кутів повороту на один коефіцієнт перед дворазовим повторенням руху діє як геометричне скидання.
Наприклад:
- Якщо ваша перша послідовність поворотів нахилила об'єкт на 75 градусів в один бік, на 20 градусів в іншій і так далі, ви можете зменшити всі ці кути, скажімо, в 0,3 раза, а потім запустити цю скорочену версію двічі поспіль.
- Після цих двох запусків об'єкт ідеально повертається у вихідне становище — начебто нічого й не сталося.
У своєму доказі дослідники поєднали інструмент XIX століття для комбінування поворотів (формулу обертання Родрігеса) з теоремою Германа Мінковського з теорії чисел. У сукупності вони показали, що «майже кожен маршрут SO(3) або SU(2), навіть дуже складний, буде переважно повертатися на початок координат, просто проходячи маршрут двічі поспіль і рівномірно масштабуючи всі кути повороту».
Чому це важливо
Але чому вас це має хвилювати? Що ж, обертання зустрічаються всюди: у гіроскопах, апаратах МРТ та квантових комп'ютерах. Будь-яка технологія, здатна надійно скинути їх, може знайти широке застосування. Наприклад, в магнітно-резонансної томографії (МРТ) атомні ядра постійно обертаються на магнітних полях. Невеликі помилки в цих обертаннях можуть розмити зображення. Нове розуміння може допомогти інженерам розробляти послідовності, які акуратно скасовують небажані обертання.
Квантові пристрої, побудовані на кубітах, що обертаються, також можуть бути корисні. Оскільки кубіти еволюціонують за допомогою квантових обертань, що описуються SU(2), універсальне правило скидання може допомогти стабілізувати обчислення. «Якою б заплутаною не була історія обертань, — сказав Тласті в прес-релізі UNIST, — існує простий рецепт: змінити масштаб рушійної сили й застосувати її двічі».
А в робототехніці цей принцип може дозволити машинам нескінченно обертатися чи повертатися, не збиваючись із курсу. «Уявіть, якби у нас був робот, здатний набувати будь-якої форми твердого тіла, він міг би дотримуватися будь-якої бажаної траєкторії, просто змінюючи її», — сказала Джозі Хьюз зі Швейцарського федерального технологічного інституту в Лозанні в інтерв'ю журналу New Scientist.
Як висловився Екман, це відкриття показує, «наскільки багатою може бути математика навіть у такій добре вивченій галузі, як вивчення обертань». Це рідкісний різновид елегантності: універсальний закон, який ховається на очах, чекаючи, коли хтось трохи поверне світ — і потім зробить це знову.
