Що таке вектор

Увага: Через позицію правовласника щодо вмісту дане відео українською було видалене з Ютуб каналу "Цікава наука". Ви зможете знайти його на Толоці.

Фізики, авіадиспетчери й творці відеоігор: усіх їх об’єднує принаймні одне спільне — вектори!
Що це за об’єкти й чому вони такі важливі?
Щоб дати відповідь, нам потрібно перш за все розуміти, що таке скаляри?
Скаляр — це величина, яка виражає числове значення, або кількість чого-небудь.
Відстань між вами й лавкою, об’єм і температура напою в склянці — усі ці величини є скалярними.
У векторних величин окрім числового значення є ще один параметр — напрям.
Щоб дістатись до лавки, вам потрібно знати не лише наскільки далеко, а й у якій бік слід рухатися.
І що робить вектори особливими й корисними в безлічі галузей, то це те, що вони не змінюються залежності від перспективи, залишаючись інваріантними в цій системі відліку.
Що це означає?
Уявімо, що ви з другом переміщуєте намет.
Ви стоїте з протилежних боків намету обличчями один до одного.
Ваш друг робить два кроки праворуч і три кроки вперед.
В той час як ви два кроки ліворуч і три кроки назад.
І, навіть, якщо здається, що ви рухаєтеся по різному, ви обидва в підсумку переміститися на оду і ту же відстань в одному напрямку, вздовж одного і того ж вектора.
Незалежно від того, якою є ваша перспектива, або яку систему відліку ви обрали, вектор не змінюється.
Візьмемо знайому нам декартову, або прямокутну систему координат з її осями ікс та ігрек.
Ми називаємо ці два напрями координатним базисом, оскільки вони використовуються для опису всього, що ми зображаємо.
Скажімо, намет починає свій рух з початку координат і закінчує в точці бе.
Пряма стрілка, що з’єднує ці дві точки — вектор, проведений від початку координат до точки бе.
Коли ваш друг думає про те, як йому рухатися, це можна записати математично як 2х+3у.
Або таким чином - (²₃) - у вигляді масиву.
Оскільки ви повернуті в іншій бік відносно товариша, ваші координатні бази теж спрямовані протилежно.
Тож ми позначимо їх як ікс-штрих та ігрек-штрих.
Тепер ваш рух може бути записаний ось так - -2х'-3у', або за допомогою цього масиву - (^-2_-3).
Якщо порівняти обидва масиви, то можна легко побачити, що вони, очевидно, не однакові.
Але масив, сам по собі, не містить повного опису вектора, адже потрібен базис, щоб визначити вектор цілком, тобто додати йому контекст.
І коли ми визначаємо все правильно, то бачимо, що ці масиви насправді описують один і той же вектор.
Ви можете уявити елементи масиву як окремі літери.
Так само як послідовність літер стає словом лише в контексті певної мови, масив набуває змісту як вектор лише коли йому присвоєний координатний базис.
І як різні слова в різних мовах можуть передавати однакове значення, різні записи відносно двох базисів можуть описувати один і той самий вектор.
Вектор — це суть того, що ми хочемо передати, незалежно від мови, яка використовується для опису.
Виявляється, скалярам також властива ця координатна інваріантність.
Насправді всі величини, які володіють цією властивістю, відносяться до групи тензорів.
Різні типи тензорів містять різну кількість інформації.
Чи означає це, що існує щось, що може вміщати більше інформації, ніж вектори?
Звісно ж.
Скажімо, ви розробляєте відеогру, і хочете реалістична змоделювати поведінку води.
Навіть, якщо у вас є сили, що діють в одному напрямку і мають однакову величину, в залежності від їхнього спрямування, ви можете отримати хвилі, або завихрення.
Коли сила, як вектор, поєднується з іншим вектором, який описує напрям, ми отримуємо фізичну величину, яка називається напором, і вона є прикладом тензора другого порядку.
Крім відеоігор, тензори використовуються для різних цілей, в тому числі для наукового моделювання, конструювання автомобілів і візуалізації мозку.
Сімейство скалярів, векторів і тензорів надають нам порівняно простий спосіб знаходження суті складних понять і взаємодій.
І тому є чудовим прикладом елегантності, краси й фундаментальної корисності математики.