Як довго падати крізь Землю

Я отримав це запитання електронною поштою.
"Гей, Генрі, нещодавно ти зробив відео під назвою «А що, якби Земля була порожнистою?», де ти показав скільки часу триватиме політ крізь Землю. Мені просто було цікаво, як це було підраховано, адже сила тяжіння постійно змінюватиметься у зв'язку зі зростанням величини маси над тобою. Пітер."
Отже, ми маємо тунель крізь Землю, і він проходить від Північного полюса до Південного, таким чином нам не потрібно турбуватися про ефект Коріоліса, спричинений обертанням Землі.
Там, в тунелі, також не має повітря, інакше ви б досягли максимальної швидкості досить скоро, і ваша подорож була б повільною і нудною.
Є кілька способів з'ясувати, як довго триватиме така подорож.
Перший - стрибнути.
Але буде швидше, і, ймовірно, безпечніше, якщо ми обчислимо цей час за допомогою фізики там математики.
Для початку спростимо умови.
Припустимо, що Земля є абсолютно сферичною і має однакову густину повсюди.
Виявляється, гравітаційне притягання будь-якого симетрично-сферичного об'єкта є ідентичним випадку, коли вся маса була б зосереджена в центрі цього об'єкта.
Ближче розташовані частини притягують сильніше, віддаленіші слабше, але, узявши всю кулю, отираємо середнє значення.
Аналогічним чином, якщо ви знаходитеся всередині сферичної оболонки, то гравітаційне притягання усіх її частин взаємно компенсується і ви відчуватимете нульовий вплив такої оболонки.
Це означає, що всередині Землі всі частини, які знаходяться далі від її центра, аніж ви, можна виключити з розгляду, оскільки їхня гравітація повністю компенсується.
Усе так, ніби їх просто зрізали, і ви тимчасово опинилися на поверхні меншої, поголеної Землі.
Оскільки ми припустили, що порода має однакову густину повсюди, маса Землі просто пропорційна її об'єму, який пропорційний її радіусу в кубі.
І через те, що це куля, ми можемо припустити, що маса дійсно зосереджена в одній точці - в центрі цієї кулі.
Тож, з якою силою така побрита Земля притягує вас?
Ну, гравітаційне притягання між двома об'єктами пропорційне їхнім масам і обернене пропорційне квадрату відстані між ними.
Тому ми повинні поділити масу поголеної Землі на квадрат вашої відстані до центра, що є радіусом.
Радіус в кубі поділити на радіус у квадраті дорівнює просто радіусу.
Так що сила, яка діє на вас, просто дорівнює деякій відомій константі помноженій на радіус.
По суті, в міру вашого падіння, маса під вами зменшується в той час, як ваше середнє гравітаційне притягання до будь-якої частини маси збільшується, але маса зменшується швидше, ніж зростає сила тяжіння від кожної частинки.
Таким чином, у міру наближення до центру Землі, ви рухатиметесь швидше і швидше, але сила, яка тягне вас до середини, стає все меншою і меншою.
І у самому центрі ви відчуватимете нульову результуючу силу, тому що Земля тягне вас однаково у всіх напрямках.
Але, оскільки ви набрали досить велику швидкість, то продовжите мчати до іншого боку, але вже поступово сповільнюючись через збільшення сили, що тягне вас назад до центра.
Таке ж рівняння, в якому певні константи множаться на відстань, також описують тіло на пружині, чи маятник, або ж кота в параболі.
Вивчивши ці рівняння, ми знаємо, що час затрачений рухомим об'єктом, незалежно яким, на перехід від однієї сторони до іншої виражається простою формулою - Пі помножити на квадратний корінь з маси, розділеної на сталу величину.
У разі падіння крізь Землю ваша маса скорочується, тому нам потрібно просто підставити числові значення для густини Землі та гравітаційної сталої, щоб отримати відповідь 42 хвилини, щоб пролетіти крізь Землю.
Цей час, виявляється, дорівнює часу, який потрібен, щоб впасти навколо Землі з одного боку до іншого, і це число часто згадується в Інтернеті.
Іще більш дивним є те, що радіус Землі відсутній у формулі для розрахунку часу.
Це означає, що ви затратите 42 хвилини, щоб пролетіти крізь, або навколо будь-якого сферичного об'єкта з тією ж густиною, що й у Землі.
Але Земля не має однакової густини скрізь.
Ми знаємо це завдяки сейсмології.
Ядро Землі має набагато більшу густину, ніж мантія, чи земна кора.
На початковій ділянці падіння більша частина маси все ще перебуватиме під вами, тому гравітація не зменшуватиметься настільки швидко, як передбачає наша проста модель.
Насправді, сила тяжіння майже незмінна на першій половині дороги до центра, після чого вона починає швидко зменшуватися, оскільки все більше Землі буде над вами.
Розрахунки тут трохи складніші, тому ми повинні зібрати воєдино дві різних частини - падіння з постійним прискоренням, що досить просто, і падіння зі зменшенням тяжіння пропорційно частині радіуса, а це теж саме, що ми робили раніше, тільки тепер ви починаєте на півдорозі до центра Землі зі швидкістю 7580 метрів на секунду, а не на поверхні з нульовою швидкістю.
Після того, як математичний пил осяде, ми додамо обидві частини й помножимо суму на два, щоб отримати загальний час польоту до поверхні на іншому боці - 37 хвилин.
Звичайно, це лише наближення.
Трохи реалістичне, ніж раніше, але далеке від досконалості.
Якщо ви ретельно додасте усі інтервали часу подорожі крізь Землю, використовуючи більш детальний профіль густини Землі, як у попередній, еталонній моделі Землі, ви зможете отримати точніший результат - 38 хвилин і 6 секунд від полюса до полюса.
Але, в будь-якому випадку, якщо замість обчислення ви стрибнули в тунель крізь Землю на початку цього відео, вас ще чекає довгий шлях, щоб досягти іншого боку Землі.
Вдалої подорожі!