Розв'язання одного із найстаріших алгебраїчних завдань — непогана заявка на славу, і Норман Уайлдбергер тепер може це зробити: математик вирішив так звані рівняння поліномів вищого ступеня, які спантеличували експертів протягом майже 200 років.
Дослідження було опубліковано в журналі The American Mathematical Monthly.
Уайлдбергер з Університету Нового Південного Уельсу (UNSW) в Австралії працював із вченим-комп'ютерником Діном Рубіном над статтею, в якій докладно описується, як можна виконати ці неймовірно складні обчислення.
"Це кардинальний перегляд базового розділу в алгебрі", - говорить Уайлдбергер. "Наше рішення заново відкриває раніше закриту сторінку в історії математики".
Як і слід було очікувати, зрозуміти, як це працює, нелегко для геніїв із числа неалгебраїстів. По суті, поліноми — це рівняння, які включають змінні, зведені до невід'ємних ступенів(наприклад, x3). Коли ці ступені дорівнюють п'яти або вище, це поліном вищого ступеня.
Математики з'ясували, як вирішувати версії нижчого ступеня, але вважалося, що правильно обчислити версії вищого ступеня неможливо. До цього нового дослідження ми покладалися на наближення.
Вілдбергер і Рубін застосували новий підхід до проблеми, що ґрунтується на каталонських числах. Ці числа використовуються в розширеному підрахунку чисел та їх розташування, включаючи підрахунок того, у скільки способів багатокутники можна розділити на трикутники.
Розширивши ідею каталонських чисел, дослідники змогли продемонструвати, що їх можна використовувати як основу для вирішення поліноміальних рівнянь будь-якого ступеня. Частина методу включала поширення підрахунку поділення багатокутників на інші форми, крім трикутників.
Це відхід від традиційного методу використання радикальних виразів (таких як квадратне коріння і кубічне коріння) для вирішення таких рівнянь, натомість покладаючись на комбінаторику — підрахунок чисел, по суті, але все більш просунутими способами.
"Мається на увазі, що каталонські числа тісно пов'язані з квадратним рівнянням", - говорить Вілдбергер.
"Наша інновація полягає в ідеї, що якщо ми хочемо вирішувати рівняння вищого порядку, ми повинні шукати аналоги вищого порядку каталонських чисел".
Дослідники зіставили свою нову алгебру з деякими відомими багаточленними рівняннями минулого, включаючи знамените кубічне рівняння, вивчене Джоном Уоллісом. Числа пройшли перевірку, підтвердивши нову роботу.
Вільдбергер та Рубін не зупинилися на цьому. Вони також відкрили нову математичну структуру під назвою "жеода", яка пов'язана з каталонськими числами й, мабуть, служить для них основою. Ця «жеода» може стати основою для багатьох майбутніх досліджень та відкриттів, кажуть дослідники.
Оскільки підхід, прийнятий тут, сильно відрізняється від того, що було раніше, є потенціал переосмислити багато ключових ідей, на які математики тривалий час покладалися для комп'ютерних алгоритмів, способу структурування даних та теорії ігор. Вона може навіть знайти застосування в біології, наприклад, для підрахунку згортання молекули РНК.
"Це базові обчислення для більшої частини прикладної математики, тому це можливість покращити алгоритми в широкому спектрі областей", - говорить Вільдбергер.
